Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Правильные многогранники

Сколько существует правильных многогранников? - Как они определяются, какими свойствами обладают? -Где встречаются, имеют ли практическое применение?

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

«эдра» - грань «тетра» - четыре гекса» - шесть «окта» - восемь «додека» - двенадцать «икоса» - двадцать Названия этих многогранников пришли из Древней Греции и в них указано число граней.

Название правильного многогранника Вид грани Число вершин ребер граней граней, сходящихся в одной вершине Тетраэдр Правильный треугольник 4 6 4 3 Октаэдр Правильный треугольник 6 12 8 4 Икосаэдр Правильный треугольник 12 30 20 5 Куб (гексаэдр) Квадрат 8 12 6 3 Додекаэдр Правильный пятиугольник 20 30 12 3 Данные о правильных многогранниках

Вопрос (проблема): Сколько существует правильных многогранников? Как установить их количество?

α n = (180 °(n -2)) : n При каждой вершине многогранника не меньше трех плоских углов, и их сумма должна быть меньше 360 ° . Форма граней Количество граней при одной вершине Сумма плоских углов при вершине многогранника Вывод о существовании многогранника α = 3 α = 4 α = 5 α = 6 α = 3 α = 4 α = 3 α = 4 α = 3

Л. Кэрролл

Великие математики древности Архимед Евклид Пифагор

Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий ученый Платон. Именно поэтому правильные многогранники называются тела Платона

тетраэдр - огонь куб - земля октаэдр - воздух икосаэдр - вода додекаэдр - вселенная

Многогранники в науках о космосе и земле

Иоганн Кеплер (1571-1630) – немецкий астроном и математик. Один из создателей современной астрономии - открыл законы движения планет (законы Кеплера)

кубок Кеплера Космический

" Экосаэдро - додекаэдровая структура Земли "

Многогранники в искусстве и архитектуре

Альбрехт Дюрер (1471-1528) «Меланхолия»

Сальвадор Дали «Тайная Вечеря»

Современные архитектурные сооружения в виде многогранников

Александрийский маяк

Кирпичный многогранник швейцарского архитектора

Современное здание в Англии

Многогранники в природе ФЕОДАРИЯ

Пирит (сернистый колчедан) Монокристалл алюмокалиевых квасцов Кристаллы красной медной руды ПРИРОДНЫЕ КРИСТАЛЛЫ

Поваренная соль состоит из кристаллов в форме куба Минерал сильвин также имеет кристаллическую решетку в форме куба. Молекулы воды имеют форму тетраэдра. Минерал куприт образует кристаллы в форме октаэдров. Кристаллы пирита имеют форму додекаэдра

Алмаз В форме октаэдра кристаллизуются алмаз, хлорид натрия, флюорит, оливин и другие вещества.

Исторически первой формой огранки, появившейся в XIV веке стал октаэдр. Алмаз Шах Масса алмаза 88,7 карата

Задача Английская королева дала указание сделать огранку вдоль ребер алмаза золотой нитью. Но огранка не была сделана, так как ювелир не сумел рассчитать максимальную длину золотой нити, а сам алмаз ему не показали. Ювелиру были сообщены следующие данные: число вершин В=54, число граней Г=48, длина наибольшего ребра L= 4мм. Найти максимальную длину золотой нити.

Правильный многогранник Число Граней Вершин Рёбер Тетраэдр 4 4 6 Куб 6 8 12 Октаэдр 8 6 12 Додекаэдр 12 20 30 Икосаэдр 20 12 30 Исследовательская работа «Формула Эйлера»

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника В + Г - 2 = Р где В – число вершин, Г – число граней, Р – число ребер этого многогранника.

ФИЗМИНУТКА!

Задача Найдите угол между двумя ребрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани.

Задача Найти высоту правильного тетраэдра с ребром 12 см.

Кристалл имеет форму октаэдра, состоящего из двух правильных пирамид с общим основанием, ребро основания пирамиды 6 см. высота октаэдра 8 см. Найдите площадь боковой поверхности кристалла

Площадь поверхности Тетраэдр Икосаэдр Додекаэдр Гексаэдр Октаэдр

Задание на дом: mnogogranniki.ru Пользуясь развертками изготовить модели 1-го правильного многогранника со стороной 15 см, 1-го полуправильного многогранника

Спасибо за работу!

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

• ознакомить учащихся с понятием правильного многогранника и с пятью типами правильных многогранников,
• способствовать формированию навыков использования компьютерных технологий при изучении нового материала
• способствовать развитию самостоятельной деятельности, умению сравнивать, обобщать.

Оснащение урока:

• Мультимедийный проектор, экран, компьютеры
• Презентация «Правильные многогранники»
• Модели правильных многогранников
• Карточки – задания «Задачи по готовым чертежам» –Приложение 1
• Таблица «Правильные многогранники»
• Раздаточный материал «Кроссворд» – Приложение 2

ХОД УРОКА

1. Организационный момент (5 мин.)

Целевая установка урока (Сообщение темы, цели урока и порядка работы)
Раздел о правильных многогранниках носит описательный характер, на его изучение отводится один урок. Материал о правильных многогранниках существенно дополняет и логически завершает раздел «Многогранники». Фактически здесь продолжается классификация многогранников; из выпуклых многогранников выделяются правильные.

2. Изучение нового материала (15 мин.)

Учителю необходимо организовать работу так, чтобы новое понятие «правильный многогранник» формировалось на основе уже сложившихся представлений обучающихся о правильных призмах, пирамидах и правильных многоугольниках.
Существование только пяти видов правильных многогранников сообщается без доказательства. Доказательство этой теоремы можно рассмотреть на занятиях соответствующего факультативного курса.

Презентация «Правильные многогранники»

Презентация подготовлена по теме "Правильные многогранники" для учащихся 10-11 классов общеобразовательных школ и учащихся профессионально-технических училищ. В материале предлагается историческая справка о правильных многогранниках, их особенностях, свойствах. Приводятся примеры из окружающего мира, где можно встретить многогранники. Презентацию можно использовать на уроках геометрии, элективных курсах, а также на внеклассных мероприятиях по математике.

Использование презентации на уроке позволяет экономить время, сделать изучение материала более интересным, красочным, необычным.

Слайды 2, 3 – Вводится определение правильного многогранника и осуществляется самоконтроль обучающимися усвоения определения.
«Правильных многогранников вызывающе мало, – написал когда-то Л.Кэрролл, – но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».

Слайды 4-9 – Сообщается о существовании только пяти видов правильных многогранников и для каждого из многогранников представлены его рисунок, объемное изображение, развертка поверхности и основные свойства.
С древних времен многогранники привлекают внимание людей своей красотой, совершенством и гармонией.

Слайд 10 – Историческая справка - сведения из истории о Платоне и правильных многогранниках.

Слайд 11 – Элементы правильных многогранников, зависимость между элементами. Теорема Эйлера.

Слайд15 – Леонард Эйлер

Особый интерес к правильным многогранникам связан с красотой и совершенством их форм. Они довольно часто встречаются в природе.

Слайды 12, 13 – Правильные многогранники в природе, в частности, в кристаллографии.

Слайд 14 – Заключение и домашнее задание
После изучения нового материала осуществляется проверка усвоения материала с использованием каркасных и плоскостных моделей многогранников и таблицы «Правильные многогранники». После чего учащиеся приступают к решению задач по готовым чертежам.

3. Решение задач (17 мин.) –Приложение 1

№1. Найдите высоту правильного тетраэдра с ребром 10 см.

Дано : ABCД – правильный тетраэдр,
AВ = 10 см

Найти : высоту тетраэдра

Решение .

1) AF – медиана ΔABС, значит ВF = ______

2) Из ΔABF по теореме _______ найдем АF

AF 2 = AB 2 – BF 2

3) О делит отрезок AF в отношении 2:1, поэтому АО = _____________________

4) Из ΔADO по теореме Пифагора найдем DO

DO 2 = ____________
DO = ____________

Ответ: ______см

№2. Решите задачу, используя план решения

Кристалл имеет форму октаэдра, состоящего из двух правильных пирамид с общим основанием, ребро основания пирамиды 6 см. Высота октаэдра 14 см. Найдите площадь боковой поверхности кристалла.

Решение.

1) Sбок = 2 Sпир = p ∙ SK (где SK – апофема, p – полупериметр ABCD)

2) Находим ОК _________________________

3) Находим SO ________________________
______________________________________

4) Находим SK ________________________
______________________________________

5) Вычисляем Sбок ______________________
______________________________________

№3. Докажите, что концы двух непараллельных диагоналей противолежащих граней куба являются вершинами тетраэдра.

4. Дополнительное задание.

Кроссворд (работа в парах) Приложение 2
В зависимости от уровня подготовленности класса или группы обучающихся можно предложить им дополнительное задание в виде кроссворда. Если класс или группа имеют низкие математические способности, то кроссворд можно предложить к решению на следующем уроке как повторение ранее изученного материала.

5. Итоги урока (5 мин.)

Итог урока предусматривает обсуждение с учащимися в конце урока не только успешности реализации поставленных целей, но и что понравилось (не понравилось) и почему, что лично для него было полезным, что бы ему хотелось повторить, что изменить при дальнейшей работе.

6. Домашнее задание (3 мин.)

Сделать развертки поверхностей правильных многогранников (правильные тетраэдр, куб, октаэдр).
Ответить на вопросы №№ 30, 31 стр. 243 , Погорелов А. В. «Геометрия 10-11»
Решить задачи №57 стр. 249, №70 стр.248

Домашнее задание включает в себя решение задач и построение разверток и моделей правильных многогранников. Учащиеся сами выбирают, какие из рассмотренных многогранников они будут выполнять (можно «разбить» класс или группу на пять групп по количеству типов правильных многогранников и каждой группе предложить изготовление только одного из правильных многогранников).

Cлайд 1

Cлайд 2

СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ “Симметрия является той идеей, посредством которой человек пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство” (Г.Вейль) Симметрия («соразмерность») - соответствие, неизменность (инвариантность), проявляемая при каких-либо преобразованиях. Так, например, сферическая симметрия тела означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы, сохраняя одну точку на месте. «Витрувианский человек» Ленардо Да Винчи (1490,Венеция)

Cлайд 3

СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О – середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе. А А1

Cлайд 4

СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой (ось симметрии), если прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе. А1

Cлайд 5

СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Точки А и А1 называются симметричными относительно плоскости (плоскость симметрии), если эта плоскость проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку. Каждая точка плоскости считается симметричной самой себе

Cлайд 6

СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией

Cлайд 7

ПРИМЕРЫ СИММЕТРИИ ПЛОСКИХ ФИГУР Параллелограмм имеет только центральную симметрию. Его центр симметрии – точка пересечения диагоналей Равнобокая трапеция имеет только осевую симметрию. Её ось симметрии – перпендикуляр, проведенный через середины оснований трапеции Ромб имеет и центральную, и осевую симметрию. Его ось симметрии – любая из его диагоналей; центр симметрии – точка их пересечения

Cлайд 8

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ - 5 ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ Обитатели даже самой отдаленной галактики не могут играть в кости, имеющие форму неизвестного нам правильного выпуклого многогранника. М. Гарднер Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер. Также все ребра правильного многоугольника равны, как и все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром. Правильного многогранника, гранями которого являются n-угольники при n > или = 6, не существует!

Cлайд 9

ПРАВИЛЬНЫЙ ТЕТРАЭДЕР Составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине ровна 180°. Элементы симметрии: Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии. S полн Объем Высота Вершин – 4 Граней – 6 Ребер – 4

Cлайд 10

КУБ Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине ровна 270°. 6 граней, 8 вершин и 12 ребер Элементы симметрии: Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей и плоскостей симметрии R опис. окр. S полн r впис. окр

Cлайд 11

ПРАВИЛЬНЫЙ ОКТАЭДР Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°. Элементы симметрии: Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии 8 граней 6 вершин 12 ребер

Определение.Выпуклый многогранник называется
правильным, если все его грани –
равные правильные многоугольники и в
каждой его вершине сходится одно и то
же число ребер. Правильных
многогранников всего пять: тетраэдр,
гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Тетраэдр
Октаэдр
Тетраэдр - простейший многогранник, гранями
которого являются четыре треугольника. У
тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр, у
которого все грани - равносторонние
треугольники, называется
правильным. У правильного
тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и
все трёхгранные углы при вершинах равны.
Октаэдр - имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6
вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

Примеры правильных многогранников:

Икосаэдр
Куб
Икосаэдр - правильный выпуклый
многогранник, двадцатигранник. Каждая из 20
граней представляет собой
равносторонний треугольник. Число ребер равно
30, число вершин - 12. Икосаэдр имеет
59 звёздчатых форм.
Куб - правильный многогранник, каждая грань
которого представляет собой квадрат. Вершин -
8, Рёбер - 12, Граней - 6.

Примеры правильных многогранников:

Додекаэдр
Додекаэдр - составлен из
двенадцати правильных
пятиугольников, являющихся его
гранями.
Каждая вершина додекаэдра
является вершиной трёх правильных
пятиугольников. Таким образом,
додекаэдр имеет 12 граней
(пятиугольных), 30 рёбер и 20
вершин (в каждой сходятся 3 ребра).

Характеристики и формулы:

Элементы симметрии правильного тетраэдра:
Правильный тетраэдр не имеет центра
симметрии. Зато он имеет три оси
симметрии и шесть плоскостей
симметрии.

Элементы симметрии правильного октаэдра:

Правильный октаэдр имеет центр
симметрии - точку пересечения его осей
симметрии. Три из 9 плоскостей
симметрии тетраэдра проходят через
каждые 4 вершины октаэдра, лежащие в
одной плоскости. Шесть плоскостей
симметрии проходят через две вершины,
не принадлежащие одной грани, и
середины противоположных ребер.

Элементы симметрии правильного икосаэдра:

Правильный икосаэдр имеет 15 осей
симметрии, каждая из которых проходит
через середины противоположных
параллельных ребер. Точка пересечения
всех осей симметрии икосаэдра является
его центром симметрии. Плоскостей
симметрии также 15. Плоскости
симметрии проходят через четыре
вершины, лежащие в одной плоскости, и
середины противолежащих параллельных
ребер.

Элементы симметрии куба:

Куб имеет один центр симметрии -
точку пересечения его диагоналей, также
через центр симметрии проходят 9 осей
симметрии. Плоскостей симметрии у куба
также 9 и проходят они либо через
противоположные ребра.

Элементы симметрии правильного додекаэдр:

Правильный додекаэдр имеет центр
симметрии и 15 осей симметрии. Каждая
из осей проходит через середины
противолежащих параллельных ребер.
Додекаэдр имеет 15 плоскостей
симметрии. Любая из плоскостей
симметрии проходит в каждой грани
через вершину и середину
противоположного ребра.

Вся информация взята из:

http://licey102.k26.ru/
http://math4school.ru
wikipedia.org
Учебник за 10-11 класс по геометрии