- (греч. trapezion). 1) в геометрии четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две нет. 2) фигура, приспособленная для гимнастических упражнений. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТРАПЕЦИЯ… … Словарь иностранных слов русского языка
Трапеция - Трапеция. ТРАПЕЦИЯ (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту. … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Четырехугольник, снаряд, перекладина Словарь русских синонимов. трапеция сущ., кол во синонимов: 3 перекладина (21) … Словарь синонимов
- (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту … Современная энциклопедия
- (от греч. trapezion букв. столик), четырехугольник, в котором две противоположные стороны, называемые основаниями трапеции, параллельны (на рисунке АD и ВС), а другие две непараллельны. Расстояние между основаниями называют высотой трапеции (на… … Большой Энциклопедический словарь
ТРАПЕЦИЯ, четырехугольная плоская фигура, в которой две противоположные стороны параллельны. Площадь трапеции равна полусумме параллельных сторон, умноженной на длину перпендикуляра между ними … Научно-технический энциклопедический словарь
ТРАПЕЦИЯ, трапеции, жен. (от греч. trapeza стол). 1. Четырехугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами (мат.). 2. Гимнастический снаряд, состоящий из перекладины, подвешенной на двух веревках (спорт.). Акробатические… … Толковый словарь Ушакова
ТРАПЕЦИЯ, и, жен. 1. Четырёхугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами. Основания трапеции (её параллельные стороны). 2. Цирковой или гимнастический снаряд перекладина, подвешенная на двух тросах. Толковый словарь Ожегова. С … Толковый словарь Ожегова
Жен., геом. четвероугольник с неравными сторонами, из коих две опостенны (паралельны). Трапецоид, подобный четвероугольник, у которого все стороны идут врознь. Трапецоэдр, тело, ограненное трапециями. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля
- (Trapeze), США, 1956, 105 мин. Мелодрама. Начинающий акробат Тино Орсини поступает в цирковую труппу, где работает Майк Риббл, известный в прошлом воздушный гимнаст. Когда то Майк выступал вместе с отцом Тино. Молодой Орсини хочет, чтобы Майк… … Энциклопедия кино
Четырехугольник, две стороны которого параллельны, а дведругие стороны не параллельны. Расстояние между параллельными сторонаминаз. высотою Т. Если параллельные стороны и высота содержат а, b и hметров, то площадь Т. содержит квадратных метров … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона
Тема урока
Трапеция
Цели урока
Продолжать знакомить с новыми определениями в геометрии;
Закрепить знания об уже изученных геометрических фигурах;
Познакомить с формулировкой и доказательствами свойств трапеции;
Обучить применению свойств различных фигур при решении задач и выполнении заданий;
Продолжать развивать у школьников внимание, логическое мышление и математическую речь;
Воспитывать интерес к предмету.
Задачи урока
Вызвать интерес к знаниям по геометрии;
Продолжать упражнять школьников в решении задач;
Вызвать познавательный интерес к урокам математики.
План урока
1. Повторить материал, изученный ранее.
2. Знакомство с трапецией, ее свойствами и признаками.
3. Решение задач и выполнение заданий.
Повторение ранее изученного материала
На предыдущем уроке вы знакомились с такой фигурой, как четырехугольник. Давайте закрепим пройденный материал и ответим на поставленные вопросы:
1. Сколько углов и сторон имеет 4-х угольник?
2. Сформулируйте определение 4-х угольника?
3. Какое название носят противоположные стороны 4-х угольника?
4. Какие виды четырехугольников вам известны? Перечислите их и дайте определение каждого из них.
5. Изобразите пример выпуклого и невыпуклого четырехугольника.
Трапеция. Общие свойства и определение
Трапеция - это такая четырехугольная фигура, у которой только одна пара противолежащих сторон параллельна.
В геометрическом определении к трапеции относится такой 4-х угольник, который имеет две параллельные стороны, а две другие – нет.
Название такой необычной фигуры, как «трапеция» произошло от слова «трапезион», что в переводе с греческого языка, обозначает слово «столик», от которого произошли также слово «трапеза» и другие родственные слова.
В некоторых случаях в трапеции пара противоположных сторон параллельна, а другая его пара не является параллельной. В таком случае трапеция носит название криволинейной.
Элементы трапеции
Трапеция состоит из таких элементов, как основание, боковые линии, средняя линия и ее высота.
Основанием трапеции называют ее параллельные стороны;
Боковыми сторонами называют две другие стороны трапеции, которые не есть параллельными;
Средней линией трапеции называют отрезок, который соединяет середины его боковых сторон;
Высотой трапеции считается расстояние между ее основаниями.
Виды трапеций
Задание:
1. Сформулируйте определение равнобедренной трапеции.
2. Какая трапеция называется прямоугольной?
3. Что значит остроугольная трапеция?
4. Какая трапеция относится к тупоугольной?
Общие свойства трапеции
Во-первых, средняя линия трапеции находится параллельно основанию фигуры и равняется ее полусумме;
Во-вторых, отрезок, который соединяет середины диагоналей 4-х угольной фигуры, равняется полуразности ее оснований;
В-третьих, в трапеции параллельно лежащие прямые, которые пересекают стороны угла данной фигуры, отсекают пропорциональные отрезки от сторон угла.
В-четвертых, в любого из видов трапеции сумма углов, которые прилегают к ее боковой стороне, равны 180°.
Где еще присутствует трапеция
Слово «трапеция» присутствует не только в геометрии, она имеет более широкое применение в повседневной жизни.
Это необычное слово мы можем встретить, просматривая спортивные соревнования гимнастов, выполняющих акробатические упражнения на трапеции. В гимнастике трапецией называют спортивный снаряд, который состоит из перекладины, подвешенной на двух веревках.
Также это слово можно услышать, занимаясь в спортивном зале или в среде людей, которые занимаются бодибилдингом, так как трапеции - это не только геометрическая фигура или спортивный акробатический снаряд, но и мощные мышцы спины, которые расположены сзади за шеей.
На рисунке изображена воздушная трапеция, которую изобрел для цирковых акробатов артист Джулиус Леотард еще в девятнадцатом веке во Франции. Вначале создатель этого номера устанавливал свой снаряд на небольшой высоте, но в итоге он был перенесен под самый купол цирка.
Воздушные гимнасты в цирке выполняют трюки перелетов из трапеции на трапецию, исполняют перекрёстные полёты, проделывают в воздухе сальто-мортале.
В конном виде спорта, трапецией называют упражнение для растяжки или потягивание тела лошади, которое очень полезно и приятно для животного. Во время стойки лошади в положении трапеции работает растяжка ног животного или мышц его спины. Это красивое упражнение мы можем наблюдать во время поклона или так называемого «переднего кранча», когда лошадь глубоко прогибается.
Задание: Наведите свои примеры о том, где еще в повседневной жизни можно услышать слова «трапеция»?
А известно ли вам, что впервые в 1947 году известный французский модельер Кристиан Диор произвел показ мод, в котором присутствовал силуэт юбки-трапеции. И хотя уже прошло более шестидесяти лет, этот силуэт до сих пор в моде, и не теряет своей актуальности, и по сей день.
В гардеробе английской королевы юбка-трапеция стала непременным предметом и ее визитной карточкой.
Напоминающая геометрическую форму трапеции, юбка с одноименным названием прекрасно сочетается с любыми кофточками, блузами, топами и пиджаками. Классичность и демократичность этого популярного фасона позволяет ее носить и со строгими пиджаками и немного легкомысленными топами. В такой юбке будет уместно появляться как в офисе, так и на дискотеке.
Задачи с трапецией
Для облегчения решения задач с трапециями важно помнить несколько основных правил:
Во-первых, проведите две высоты: ВF и СК.
В одном из случаев, в результате вы получите прямоугольник – ВСFК из чего понятно, что FК=ВС.
АD=АF+FК+КD, отсюда АD=АF+ВС+КD.
К тому же сразу очевидно, что АВF и DСК – это прямоугольные треугольники.
Возможен еще такой вариант, когда трапеция не совсем стандартная, где
АD=АF+FD=АF+FК–DК=АF+ВС–DК.
Но самый простой вариант, если наша трапеция – равнобедренная. Тогда решать задачу становиться еще легче, потому что АВF и DСК – это прямоугольные треугольники, и они равны. АВ=СD, так как трапеция равнобедренная, а ВF=СК, как высоты трапеции. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон.
Определение
Трапеция - это четырехугольник $A B C D$, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны (рис. 1).
Параллельные стороны трапеции ($B C$ и $A D$) называются основаниями трапеции , а не параллельные ($A B$ и $C D$) - боковыми сторонами . Перпендикуляр ($B H$), проведенный из любой точки одного основание к другому основанию или его продолжению называется высотой трапеции.
Свойство трапеции
Сумма углов прилежащих, прилежащих к боковой стороне равна $180^{\circ}$:
$\angle A+\angle B=180^{\circ}, \angle C+\angle D=180^{\circ}$ (рис 1)
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:
$$M N=\frac{A D+B C}{2}$$
Среди всех трапеций можно выбрать два особых класса трапеций: прямоугольные и равнобокие трапеции.
Определение
Прямоугольной называется трапеция, у которой один из углов прямой.
Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны.
Свойства равнобокой трапеции
- В равнобокой трапеции углы при основании попарно равны $\angle A=\angle D, \angle B=\angle C$.
- Диагонали равнобокой трапеции равны $A C=B D$.
Признаки равнобокой трапеции
- Если углы при основании трапеции равны, то трапеция равнобокая.
- Если в трапеции диагонали равны, то она равнобокая.
Площадь трапеции:
$$S=\frac{a+b}{2} \cdot h$$
где $a$ и $b$ - основания трапеции, а $h$ - ее высота.
Примеры решения задач
Пример
Задание. Высота равнобокой трапеции, проведенная из тупого угла, делит основание на отрезки длиной 5 см и 11 см. Найти периметр трапеции, если её высота равна 12 см.
Решение. Сделаем рисунок (рис. 3)
$ABCD$ - равнобокая трапеция, $BH$ - высота, $BH = 12$ см, $AH = 5$ см, $HD = 11$ см.
Рассмотрим $\Delta A B H$, он прямоугольный ($\angle H=90^{\circ}$). По теореме Пифагора
$$A B=\sqrt{B H^{2}+A H^{2}}$$
подставляя исходные данные, получим
$A B=\sqrt{12^{2}+5^{2}}$
$A B=\sqrt{144+25}=\sqrt{169} \Rightarrow A B=13$ (см)
Так как трапеция $A B C D$ равнобокая, то её боковые стороны равны: $A B=C D=13$ см. Большее основание трапеции равно: $A D=A H+H D$, $A D=5+11=16$ (см). Меньшее основание трапеции будет равно: $B C=A D-2 A H, B C=16-2 \cdot 5=6$ (см). Периметр трапеции равен:
$P_{A B C D}=A B+B C+C D+A D$
$P_{A B C D}=13+6+13+16$
$P_{A B C D}=48$ (см)
Ответ. $P_{A B C D}=48$ см
Пример
Задание. В прямоугольной трапеции две меньшие стороны равны 2 дм, а один из углов $45^{\circ}$. Найти площадь трапеции.
Решение. Сделаем рисунок (рис. 4)
$K L M N$ - прямоугольная трапеция, $K L=L M=2$ дм, $L K \perp K N$, $\angle M L K=45^{\circ}$. Из вершины $M$ опустим высоту $MP$ на основание $KN$. Рассмотрим $\Delta M N P$, он прямоугольный ($\angle M P N=90^{\circ}$). Так как $\angle M L K=45^{\circ}$, то
$\angle N M P=180^{\circ}-\angle M P N-\angle M L K$
$\angle N M P=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$
Таким образом, $\angle M L K=\angle N M P$ и $\Delta M N P$ еще и равнобедренный. Следовательно, $M P=P N$. Так как $L K=M P=2$ дм, следовательно и $P N=2$ дм. Большее основание $K N=K P+P N$, так как $L M=K P$, получим $K N=2+2=4$ (дм).
Площадь трапеции вычислим по формуле:
$$S=\frac{a+b}{2} \cdot h$$
В нашем случае она примет вид:
$$S_{K L M N}=\frac{L M+K N}{2} \cdot M P$$
Подставляя известные значения, получим
$S_{K L M N}=\frac{2+4}{2} \cdot 2=6$ (дм 2)
Ответ. $S_{K L M N}=6$ дм 2
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель урока:
- обучающая – ввести понятие трапеции, познакомиться с видами трапеций, изучить свойства трапеции, научить учащихся применять полученные знания в процессе решения задач;
- развивающая – развитие коммуникативных качеств учащихся, развитие умения проводить эксперимент, обобщать, делать выводы, развитие интереса к предмету.
- воспитательная – воспитывать внимание, создать ситуацию успеха, радости от самостоятельного преодоления трудностей, развить у учащихся потребность в самовыражении через различные виды работ.
Формы работы: фронтальная, парная, групповая.
Форма организации деятельности детей: умение слушать, строить обсуждение, высказывать мысль, вопрос, дополнение.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран. На ученических столах: разрезной материал для составления трапеции у каждого ученика на парте; карточки с заданиями (распечатки чертежей и заданий из конспекта урока).
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
Приветствие, проверка готовности рабочего места к уроку.
II. Актуализация знаний
- развитие умений классифицировать объекты;
- выделение главных и второстепенных признаков при классификации.
Рассматривается рисунок №1.
Далее идёт обсуждение рисунка.
– Из чего составлена данная геометрическая
фигура? Ответ ребята находят на рисунках: [из
прямоугольника и треугольников].
– Какими должны быть треугольники, составляющие
трапецию?
Выслушиваются и обсуждаются все мнения,
выбирается один вариант: [треугольники должны
быть обязательно прямоугольными].
– Как составляются треугольники и
прямоугольник? [Так, чтобы противоположные
стороны прямоугольника совпадали с катетом
каждого из треугольников].
– А что вы знаете о противоположных сторонах
прямоугольника? [Они параллельны].
– Значит, и в данном четырёхугольнике будут
параллельные стороны? [Да].
– Сколько их? [Две].
После обсуждения учитель демонстрирует
«королеву урока» - трапецию.
III. Объяснение нового материала
1. Определение трапеции, элементы трапеции
- научить учащихся давать определение трапеции;
- называть ее элементы;
- развитие ассоциативной памяти.
– А теперь попробуйте дать полное определение
трапеции. Каждый учащийся продумывает ответ на
вопрос. Обмениваются мнениями в паре, готовят
единый ответ на вопрос. Устный ответ дают по
одному учащемуся от 2-3 пар.
[Трапецией называется четырёхугольник, у
которого две стороны параллельны, а две другие
стороны не параллельны].
– Как называются стороны трапеции? [Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие – боковыми сторонами].
Учитель предлагает сложить из разрезных фигур трапеции. Учащиеся работают в парах, складывают фигуры. Хорошо, если пары учащихся будут разноуровневыми, тогда один из учеников является консультантом и помогает товарищу в случае затруднения.
– Постройте в тетрадях трапецию, запишите названия сторон трапеции. Задайте вопросы по чертежу своему соседу, выслушайте его ответы, сообщите свои варианты ответов.
Историческая справка
«Трапеция»
– слово греческое,
означавшее в древности «столик» (по гречески
«трапедзион» означает столик, обеденный стол.
Геометрическая фигура была названа так по
внешнему сходству с маленьким столом.
В «Началах» (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa) - главный труд
Евклида, написанный около 300 г. до н. э. и
посвящённый систематическому построению
геометрии) термин «трапеция» применяется не в
современном, а в другом смысле: любой
четырехугольник (не параллелограмм). «Трапеция»
в нашем смысле встречаются впервые у
древнегреческого математика Посидония (Iв.). В
средние века трапецией называли, по Евклиду,
любой четырехугольник (не параллелограмм); лишь в
XVIIIв. это слово приобретает современный смысл.
Построение трапеции по её заданным элементам. Ребята выполняют задания на карточке №1.
Учащимся приходится конструировать трапеции
самых разных расположений и начертаний. В пункте
1 необходимо построить прямоугольную трапецию. В
пункте 2 появляется возможность построить
равнобедренную трапецию. В пункте 3 трапеция
окажется «лежащей на боку». В пункте 4 рисунок
предусматривают построение такой трапеции, у
которой одно из оснований оказывается
непривычно маленьким.
Ученики «удивляют» учителя разными фигурами,
носящими одно общее название – трапеция. Учитель
демонстрирует возможные варианты построения
трапеций.
Задача 1
. Будут ли равны две трапеции, у
которых соответственно равны одно из оснований и
две боковые стороны?
Обсуждают решение задачи в группах, доказывают
правильность рассуждения.
По одному ученику от группы выполняет чертёж на
доске, объясняет ход рассуждений.
2. Виды трапеции
- развитие двигательной памяти, умений разбивать трапецию на известные фигуры, необходимые для решения задач;
- развитие умений обобщать, сравнивать, давать определение по аналогии, выдвигать гипотезы.
Рассмотрим рисунок:
– Чем отличаются трапеции, изображённые на
рисунке?
Ребята заметили, что вид трапеции зависит от вида
треугольника, расположенного слева.
– Дополните предложение:
Трапеция называется прямоугольной, если …
Трапеция называется равнобедренной, если …
3. Свойства трапеции. Свойства равнобедренной трапеции.
- выдвижение по аналогии с равнобедренным треугольником гипотезы о свойстве равнобедренной трапеции;
- развитие аналитических умений (сравнивать, выдвигать гипотезу, доказывать, строить).
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
- У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
- У равнобедренной трапеции диагонали равны.
- У равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой – полуразности оснований.
Задача 2.
Докажите, что в
равнобедренной трапеции: а) углы при каждом
основании равны; б) диагонали равны. Для
доказательства этих свойств равнобедренной
трапеции вспоминаются признаки равенства
треугольников. Учащиеся выполняют задание в
группах, обсуждают, записывают решение в тетради.
По одному ученику от группы проводят
доказательство у доски.
4. Упражнение на внимание
5. Примеры применения форм трапеций в повседневной жизни:
- в интерьерах (диваны, стены, навесные потолки);
- в ландшафтном дизайне (границы газонов, искусственных водоемов, камней);
- в индустрии моды (одежда, обувь, аксессуары);
- в дизайне предметов повседневного пользования (светильники, посуда, с использованием форм трапеции);
- в архитектуре.
Практическая работа (по вариантам).
– В одной системе координат постройте равнобедренные трапеции по заданным трём вершинам.
1 вариант: (0; 1), (0; 6), (– 4; 2), (…; …) и (– 6; – 5), (4; – 5),
(– 4; – 3), (…; …).
2 вариант: (– 1; 0), (4; 0), (6; 5), (…; …) и (1; – 2), (4; – 3), (4;
– 7), (…; …).
– Определите координаты четвёртой вершины.
Решение проверяется и комментируется всем
классом. Учащиеся указывают координаты
четвёртой найденной точки и устно пытаются
объяснить, почему заданные условия определяют
только одну точку.
Занимательная задача. Сложить трапецию из: а) четырёх прямоугольных треугольников; б) из трёх прямоугольных треугольников; в) из двух прямоугольных треугольников.
IV. Домашнее задание
- воспитание правильной самооценки;
- создание ситуации “успеха” для каждого ученика.
п.44, знать определение, элементы трапеции, ее виды, знать свойства трапеции, уметь их доказывать, №388, №390.
V. Итог урока. В конце урока даётся ребятам анкета, которая позволяет осуществить самоанализ, дать качественную и количественную оценку уроку.
Трапецией называется выпуклый четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна друг другу, а другая - нет.
Исходя из определения трапеции и признаков параллелограмма, параллельные стороны трапеции не могут быть равны друг другу. Иначе другая пара сторон также стала бы параллельной и равной друг другу. В таком случае мы имели бы дело с параллелограммом.
Параллельные противоположные стороны трапеции называют ее основаниями . То есть у трапеции два основания. Непараллельные противоположные стороны трапеции называют ее боковыми сторонами .
В зависимости от того, какие боковые стороны, какие углы они образуют с основаниями, выделяют различные виды трапеций. Чаще всего трапеции делят на неравнобедренные (разнобокие), равнобедренные (равнобокие) и прямоугольные.
У разнобоких трапеций боковые стороны не равны друг другу. При этом с большим основанием они обе могут образовывать только острые углы, или один угол будет тупым, а второй острым. В первом случае трапецию называют остроугольной , во втором - тупоугольной .
У равнобедренных трапеций боковые стороны равны друг другу. При этом с большим основанием они могут образовывать только острые углы, т.е. все равнобедренные трапеции остроугольные. Поэтому их не делят на остроугольные и тупоугольные.
У прямоугольных трапеций одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. Вторая сторона не может быть им перпендикулярна, т. к. в этом случае мы имели бы дело с прямоугольником. В прямоугольных трапециях неперпендикулярная боковая сторона образует с большим основанием всегда острый угол. Перпендикулярная боковая сторона перпендикулярна обеим основаниям, т. к. основания параллельны.